La Circunferencia

1. Definición

Es el lugar geométrico que describe un punto que se mueve en el plano de tal manera que su distancia a un punto fijo llamado centro, siempre es constante.

Definición:

 

 

Elementos:

  • r: Radio
  • C: Centro
  • P(x,y) : Un punto cualquiera de la circunferencia

2. Ecuaciones de la circunferencia

Las formas para expresar una circunferencia son las siguientes:

2.1 Ecuación en forma ordinaria

Ecuación de la circunferencia con centro en el punto C(x,k) y radio r.

2.2 Ecuación en forma General

Esta ecuación se obtiene al desarrollar los binomios e igualar a cero la ecuación ordinaria

2.2.1 Videotutoriales

En el siguiente videotutorial tenemos dos ejercicios en el que se nos solicita determinar la ecuación de la circunferencia en su forma general a partir de las coordenadas del centro y el valor del radio.

Ejercicio 1 C(2,-3) r=5

Ejercicio 2 C(0,0) r=4

En el video siguiente vamos a utilizar el mismo procedimiento que en la explicación anterior, sólo que ahora los datos, tanto las coordenadas del centro como el valor del radio están representadas en fracciones

Ejercicio 1 C(-1/2 , -2/3) r= 5/6

2.3 Ecuación en forma canónica

Si el centro de la circunferencia se encuentra en el origen, esto es, en C(0,0), entonces su ecuación queda reducida a:

2.4 Análisis de la ecuación de una circunferencia

  • Si r es positivo, la circunferencia es real.
  • Si r es negativo, la circunferencia es imaginaria.
  • Si r es cero, entonces representa a un punto.

2.5 Centro y Radio de la circunferencia a partir de la ecuación en Forma General.

En los siguientes videotutoriales tenemos la explicación del proceso para determinar los valores de las coordenadas del centro y valor del radio.

2.5.1 Con fórmulas de centro y radio

El siguiente videotutorial consta de dos ejercicios en los que se identificarán las coordenadas del centro y el valor del radio mediante la aplicación de las fórmulas que tenemos para ese fin.

Ejercicio 1.
Ejercicio 2.

 

2.5.2 Centro y Radio por completar al cuadrado

A continuación te mostramos el procedimiento para encontrar las coordenadas del centro y la magnitud del radio por el método de completar al cuadrado

 

3 Ecuación de la Circunferencia por métodos indirectos

En la mayoría de las ocasiones en las que se nos solicita obtener la ecuación de la circunferencia el procedimiento no será tan sencillo como lo es cuando tenemos de datos iniciales las coordenadas del centro y el valor del radio, es por eso que en los siguientes puntos detallamos mediante diversos videotutoriales los detalles de como obtener la ecuación de la circunferencia según los datos brindados.


3.1 Ecuación de la circunferencia a partir del centro y un punto por el que pasa.

En este ejemplo nos piden determinar la ecuación de la circunferencia que tiene su centro en C(7,-4) y que pasa por el punto A(-5,1).
Para resolver utilizaremos la fórmula de la distancia entre dos puntos con el fin de determinar el valor del radio.

 

3.2 Ecuación de la circunferencia que pasa por tres puntos

En este ejemplo determinaremos la ecuación de la circunferencia a partir de tres puntos por los que pasa, utilizando para ello una solución mediante ecuaciones lineales.

En este ejemplo determinaremos la ecuación de la circunferencia a partir de tres puntos por los que pasa, utilizando para ello una solución mediante mediatrices.

4 Otros ejercicios con la Circunferencia


4.1 Longitud de Cuerda


Uno de los procedimientos comunes en los ejercicios de la circunferencia en temas de geometría analítica corresponde a determinar longitudes de cuerda.
Una cuerda es un segmento de recta que une dos puntos de una circunferencia sin que esta pase por el centro de la misma

En este ejemplo determinamos la longitud de la cuerda que está sobre una recta

En este ejercicio nos piden determinar la longitud de cuerda de dos circunferencias que se cortan entre sí.

 

4.2 Recta tangente a circunferencia

En este videotutorial nos piden determinar la ecuación de la circunferencia en su forma general cuando se tienen las coordenadas del centro y que es tangente a una recta.

 

En éste siguiente videotutorial tomado del libro de texto de Louis Leithold, El cálculo con Geometría Analítica, cuya redacción es la siguiente:

Ejercicios 1.3 Problema 50

Obtenga las ecuaciones de las dos rectas con pendiente -4/3 que son tangentes a la circunferencia

x^{2}+y^{2}+2x-8y-8=0

 

 

Aquí puedes descargar el documento en formato PDF que incluye la información de la circunferencia.

 

 

 

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